1.-Supongamos que un carpintero fabrica tres tipos de puerta en diferentes medidas: pequeñas, medianas y grandes. La utilidad que obtiene por cada una de ellas es de $1000, 1300 y 1500 pesos por cada una de ellas, respectivamente. El tiempo de elaboración es de 5 hrs, 7, horas y 10 horas por cada tipo de puerta en el orden en que se menciona. Además, el consumo en m2 de madera es de 2.4, 2.8 y 3.2 para cada una de las puertas (chicas, medianas y grandes). Finalmente, el carpintero estima que puede vender cuando mucho 3 puertas pequeñas, 5 medianas y 5 grandes semanalmente. Si dispone de 40 hrs a la semana y 30 m2 de madera por semana, ¿qué modelo representaria esta situación?
(en horas-máquina por semana) | |
| Fresadora | |
| Torno | |
| Rectificadora |
Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
| Tipo de Máquina | |||
| Fresadora | |||
| Torno | |||
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia.
3.-BlubberMaid, Inc. fabrica tres productos de caucho. Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex ( matetial rígido). Los tres productos requieren los mismo tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la tabla.
INGREDIENTES (Oz/Lb de producto)
BlubberMaid, Inc. tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extenderx y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras de polímera A, 450 libras del polímero B, 650 libras del polímero C y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.
4. Suponga que una persona acaba de
heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos
le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno
planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco
de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer
amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas,
y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras
correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con
una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le
permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la
participación en las utilidades será proporcional a esa fracción.
Como de todas maneras esta persona
está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha
decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice
la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la
mejor combinación.
a) Describa
la analogía entre este problema y el de la Wyndor Glass Co. que se presentó en
la sección 3.1. Después construya una tabla similar a la 3.2, identificando
tanto las actividades como los recursos.
b) Formule
el modelo de programación lineal para este problema.
c) Resuelva
este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada?
d) Indique
por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal
se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las
suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?
5. Una compañía manufacturera descontinuó
la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso
considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta
capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la
siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede
limitar la producción.
|
Tipo de
máquina
|
Tiempo
disponible
(en
horas-máquina por semana)
|
|
Fresadora
Torno
Rectificadora
|
500
350
150
|
El número de horas-máquina que se
requiere para cada producto es:
Coeficiente de productividad (en
horas-máquina por unidad)
|
Tipo de máquina
|
Producto 1
|
Producto 2
|
Producto 3
|
|
Fresadora
Torno
Rectificadora
|
9
5
3
|
3
4
0
|
5
0
2
|
El
departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los
productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas
potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria
sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El
objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía
para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal para este
problema.
6. Un
granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los
distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos
nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de
cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada
tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos
de los alimentos:
|
Ingrediente
nutricional
|
Kilogramo
de
maíz
|
Kilogramo
de
grasas
|
Kilogramo
de alfalfa
|
Requerimiento
mínimo diario
|
|
Carbohidratos
Proteínas
Vitamínas
|
90
30
10
|
20
80
20
|
40
60
60
|
200
180
150
|
|
Costo (c)
|
42
|
36
|
30
|
|
Formule
el modelo de programación lineal para este problema.
7. Cierta
compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las
tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar
parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres
tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y
$300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo
para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño
o la combinación de tamaños de que se trate.
La
cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone
también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta
con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para
los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad
grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados,
respectivamente.
Los
pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades
diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico.
Con
el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para
conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción
adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad
adicional con que cuentan. El
gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada
planta para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal
para este problema.
8. Una
familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para
invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de
obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo)
y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte
de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en
un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6,00 la
hora en el verano.
Pueden
obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de
animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no
se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada
gallina costará $9.
Cada
vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50
horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000
para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de
terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un
ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral
limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres
y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:
|
|
Soya
|
Maíz
|
Avena
|
|
Horas-hombre en
invierno
Horas-hombre en
verano
Ingreso neto anual ($)
|
20
50
600
|
35
75
900
|
10
40
450
|
La
familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y
cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule
el modelo de programación lineal para este problema.
9. Un
avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y
trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como
en espacio. Los datos se resumen en seguida:
|
Compartimiento
|
Capacidad
de peso
(toneladas)
|
Capacidad
de espacio
(pies cúbicos)
|
|
Delantero
Central
Trasero
|
12
18
10
|
7000
9000
5000
|
Para
mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos
compartimientos debe ser proporcional a su capacidad.
Se
tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta
con espacio:
|
Carga
|
Peso
(toneladas)
|
Volumen
(pies cúbicos/tonelada)
|
Ganancia
($/tonelada)
|
|
1
2
3
4
|
20
16
25
13
|
500
700
600
400
|
320
400
360
290
|
Se
puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué
cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los
compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo.
Formule
el modelo de programación lineal para este problema.
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