martes, 12 de junio de 2012

Ejercicios para segunda oportunidad unidad 4


Ejercicios unidad 4.- Transporte y asignación
1.-Una fábrica de vidrio cuenta con 40 toneladas de arena tipo A y 20 toneladas de arena tipo B para utilizar este mes. La arena se funde para fabricar vidrio óptico, vidrio para envases o vidrio para ventanas. La compañía tiene órdenes por 20 toneladas de vidrios óptico, 25 toneladas de vidrio para envases y 25 toneladas de vidrio para ventanas. Los costos para producir una tonelada de cada tipo de vidrio a partir de cada tipo de arena están a continuación.

Resuelva el problema formulándolo como uno de transporte.

Tipo de vidrio
Óptico
Envases
Ventanas
Arena A
12
3
5
Arena B
8
2
4

2.-Cierta empresa tiene dos plantas y tres distribuidores. En la siguiente tabla se muestran los costos de transporte de cada planta a cada centro de distribución, junto con las ofertas disponibles de cada planta y los requerimientos de cada distribuidor.

Resuelve el problema formulándolo como uno de transporte.


Distribuidor

Planta
A
B
C
Oferta
J
100
85
110
20
K
90
105
75
40
Demanda
15
25
20



3.-Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kWh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada planta a cada ciudad.

Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Capacidad Máxima
Planta 1
8
6
10
9
35
Planta 2
9
12
13
7
50
Planta 3
14
9
16
5
40
Consumo Máximo
45
20
30
30



4.- Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25, 40 y 50 millones de kilovatios/hora, proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda máxima es de 30, 35 y 25 millones de kilovatios/hora. El costo de transporte por millón de kilovatio/hora está dado en la siguiente tabla: Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Planta 1 $600 $700 $700 Planta 2 $320 $300 $350 Planta 3 $500 $480 $450 Encuentre una solución óptima por el método de transporte.
 

5. Una tienda de cosméticos tiene dos plantas productoras, una en Panamá y otra en Estados Unidos. Los productos se deben comercializar a través de unas tiendas que se encuentran en España, México y Brasil. La oferta de cada una de las plantas es de 4000 y 5000 artículos, respectivamente, mientras que la demanda de éstos es de 4000, 2800 y 2000. Los costos unitarios de transporte son: España México Brasil Panamá $200 $150 $190 USA $180 $100 $240 El gerente de almacén desea buscar la combinación que minimice los costos de transporte.


 

6. Una compañía tiene plantas en el D.F. y Monterrey. Sus centros de distribución principales están ubicados en Puebla, Coahuila y Zacatecas. Las capacidades de las dos plantas durante el semestre próximo son 2000 y 1400 motocicletas. Las demandas semestrales en los centros de distribución son 1000, 1500 y 1200 motocicletas. El costo de transporte de una motocicleta por tren es aproximadamente de 8 centavos por milla. La siguiente tabla muestra la distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución: D.F. Monterrey Puebla 850 1350 Coahuila 2688 1000 Zacatecas 1250 1275 Determine la cantidad que se enviará de cada planta que minimice el costo de transporte total.

martes, 5 de junio de 2012

Unidad 3, segunda oportunidad


Los siguientes ejercicios los deberán entregar todos los que no han aprobado la unidad 3 (Dualidad y Análisis de sensibilidad)

1.-Una compañía fabrica 4 modelos de escritorios, cada escritorio es primero construido en el taller de carpintería y entonces es enviado al departamento de acabados, donde este es barnizado, encerado y pulido, se
proporciona a continuación la siguiente información:
1. Los insumos (materia prima y accesorios) están disponibles en cantidades suficientes y todos los escritorios pueden ser vendidos.
2. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos tal que se maximice la ganancia.
3. Las limitaciones de capacidad por departamento para el próximo periodo de planeación son:
6000 horas-hombre en el taller de carpintería y 4000 h-h en el de acabados.
4. Las horas hombre requeridas por tipo de escritorio y sus ganancias se dan a continuación


ESCRITORIOS

1
2
3
4
Taller de carpintería h-h
4
9
7
10
Dep. de acabados
1
1
3
40
Ganancias (en miles)
12
20
18
40

1.-Formule el modelo de programación lineal.
2.-Resuelva el modelo y concluya su resultado.
3.-Formule el modelo dual.
4.-Resuelva el modelo dual.
5.- Un nuevo escritorio con requerimientos de los departamentos de carpintería y acabados de 5y 8 h-h
respectivamente y una ganancia de 28 pesos es contemplada, es rentable producir este escritorio. De serlo
¿cual es la mezcla de productos?
6.- Si la capacidad del departamento de acabados es incrementada en 20000 h-h por periodo de tiempo, ¿cual es la mezcla resultante del producto y la nueva ganancia?
7.- Suponga que la capacidad del taller de carpintería ha reducido su capacidad a 900 h-h, ¿cual es la mezcla
resultante de productos y su ganancia óptima; y que variable sale de solución?
8.- Puede ser rentado un equipo en $5000 para incrementar la capacidad del taller de carpintería en 10%,
además se puede obtener un 20% más de la capacidad con tiempo extra a un costo de $1.5 por H.H. ¿Qué
sugiere?
9.- ¿Para que rango de ganancias del escritorio 4 la presente solución es aún óptima? Determine que
actividad entra en solución si C4 es reducida en -20 y es reducida hasta 19/2. ¿Qué actividad deja la solución
en ambos casos?


2.-Una fabrica produce tres productos, tres recursos (servicios técnicos, mano de obra y administración), y son
requeridos para producir estos productos. La siguiente tabla muestra los requerimientos de cada uno de los
recursos para los tres productos:

PRODUCTO
SERVICIOS TECNICOS
MANO DE OBRA
ADMINISTRACION
GANACIA POR UNIDAD
1
1
10
2
10
2
1
4
2
6
3
1
5
6
4
HORAS DISPONIBLES
100
600
300


Para determinar la mezcla óptima de productos que maximice la mezcla la ganancia total, el siguiente problema de programación lineal fue resuelto.

Max Z= 10 x1 + 6 x2 + 4 x3
Sujeto a:
x1 + x2 + x3 <= 100
10x1 + 4x2 + 5x3 <= 600
2x1 + 2x2 + 6x3 <= 300
x1, x2, x3>= 0
Donde x1, x2 y x3, es la cantidad de productos 1, 2 y 3 respectivamente producida.

a)       Plantee el modelo dual y resuélvalo
b)       b) Encuentre la mezcla de productos que arroje la mayor ganancia, si la ganancia del producto 3 se incrementa a $50/6.
c)       c) El departamento de manufactura decide producir un nuevo producto que requiere 1 hora de servicios técnicos, 4 horas de mano de obra y 3 horas de administración. El departamento de mercadotecnia y ventas predice que el producto puede ser vendido con una ganancia por unidad de $8; será correcta la decisión tomada por este departamento?
d)       d) Suponga que la compañía decide producir al menos 10 unidades del producto 3, determine la mezcla optima de los productos.


3.- El granjero Leopoldo cultiva trigo y maíz en su granja de 45 acres. Puede vender a lo más 140 ton. de trigo y a lo más 120 ton. de maíz. El trigo se vende a $ 30 la ton. y el maíz a $ 50 la ton. Se necesitan 6 horas de mano de obra para cosechar un acre de trigo y 10 hrs. de mano de obra para cosechar un acre de maíz. Se disponen de 350 hrs.
a)      ¿Cuál es la solución óptima?
b)      ¿Cuál es la máxima cantidad que tendría que estar dispuesto a pagar el granjero por una hora adicional de mano de obra?
c)       ¿Cuál es la máxima cantidad que tendría que estar dispuesto a pagar el granjero por un acre adicional de tierra?


4.- Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de elaboración de productos a partir de la papa. Su negocio es la venta de productos derivados de la papa, de los cuales hay cuatro tipos: papas trozadas para ensalada(X1), puré de papas(X2), papas fritas a la inglesa(X3), y papas congeladas para freír(X4). A su negocio, don Francisco y doña Remedios, su mujer, dedican como máximo entre los dos 100 horas semanales. Para fabricar un kilo de cada producto el tiempo a dedicar es el siguiente: papas trozadas 3 horas, puré de papas 5 horas, papas fritas a la inglesa 1 hora, papas congeladas 15 horas. Como su almacén es pequeño no pueden tener almacenados semanalmente más de 15 kilos de productos terminados ni más de 120 kilos en sacos de papas. No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta relación es la siguiente:
-          Para hacer un kilo de papas para ensalada, necesita 7 kilos de papas.
-          Para hacer un kilo de puré de papas, se necesita 5 kilos de papas.
-          Para hacer un kilo de papas a la inglesa se necesita 3 kilos de papas.
-          Para hacer un kilo de papas congeladas se necesitan 2 kilos de papas.
La ganancia también es diferente: $4 por kg papas para ensalada; 5 por kg puré de papas; 9 por kg papas a la inglesa y 11 por kg papas congeladas para freír.
a)      Halle la producción óptima.
b)      Si aumenta en 70 horas la disponibilidad actual de horas semanales, ¿Cuál sería la producción óptima?

5.- El departamento de mercado Home S.A. está enfrentando el problema de cómo promover efectivamente sus juguetes en la próxima campaña navideña. Hay tres medios de comunicación básico a través de los cuales la firma puede publicitarlo y el tamaño promedio de audiencia son las siguientes:

Medio Publicitario
Costo por anuncio
Audiencia por anuncio
Total
Niños
Prensa
4000
20000
1000
Radio
3000
14000
1000
Televisión
8000
36000
3000

El gerente del departamento del mercado ha decidido que la función objetivo de la firma debería de ser “maximizar la audiencia de las personas expuestas a la publicidad”, y que la audiencia de niños sea por lo menos 6000.
La firma Home S.A.  ha dispuesto un presupuesto de $20000 para la publicidad de los juguetes.
a)      Plantee el problema como un problema de programación lineal y halle la solución óptima.
b)      Formule el modelo dual y resuélvalo.
c)       Cual restricción puede mejorar la función objetivo?,¿ explique por qué?
d)      La audiencia total por televisión aumento a 40000.¿Encuentre la nueva solución?
e)      El presupuesto acordado se reduce en un 15%. ¿Encuentre la nueva solución?
f)       Se utiliza otro medio publicitario “AudioMovil” el cual tiene un costo de 5000 por anuncio, y una audiencia total calculada en 25000 de los cuales 1500 son niños.¿ Encuentre la nueva solución?
g)      La empresa plantea llegar por lo menos 15000 papas, teniendo en cuenta que por prensa llega a 10000, por radio a 1000 y por televisión2000. ¿Encuentre la nueva solución?

lunes, 4 de junio de 2012

Ejercicios para segunda oportunidad unidad 2


Resuelva los siguientes ejercicios por el método correspondiente (simplex, dos fases) los ejercicios con 2 variables también resolverlos por el método gráfico.

1.-  Max Z = x1 + (1/2) x2
s. a.       2x1 +    x2   ≤  4
               x1 + 2 x2   ≤  3
               x1 ≥ 0 , x2  ≥  0


2.-Max Z = 2x1 + x2
s. a.           -x1 +   x2  ≤ 1
                   x1  - 2x2 ≤ 2
                  x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0


  • 3.-             Max        2X1 + X2
  •                 sa           10X1 + 10X2 < 9
  •                                10X1 + 5X2  >=  1
  •                                X1, X2 >=  0


4. Maximizar Z = 4x1 + 3x2 + 6x3
s.a                        
3x1 +   x2 + 3x3  <= 30
                             2x1 + 2x2 + 3x3  <= 40
                                       x1, x2 , x3   >=0


5.-Maximizar Z = 2x1 - x2 + x3
s.a                       
3x1 +   x2 +   x3  <= 6
                               x1  -   x2 + 2x3  <= 1
                               x1  +  x2  -   x3  <= 2
                                     x1, x2 , x3  >= 0

6.-Minimizar Z = 2x1 + 5x2 + 3x3
s.a                            
x1  -  2x2 +   x3  >= 20
                                2x1  + 4x2 +   x3  = 50
                                     
x1,x2 , x3  >= 0

7.-Min Z = 3X1
+ 2X2  
+ 4X3
s.a                 2X1 + X2 + 3X3 =    60 
                      3X1 + 3X2 + 5X3 <= 120
                         x1, x2, x3 >=0

Ejercicios segunda oportunidad unidad 1


1.-Supongamos que un carpintero fabrica tres tipos de puerta en diferentes medidas: pequeñas, medianas y grandes. La utilidad que obtiene por cada una de ellas es de $1000, 1300 y 1500 pesos por cada una  de ellas, respectivamente. El tiempo de elaboración es de 5 hrs, 7, horas y 10 horas por cada tipo de puerta en el orden en que se menciona. Además, el consumo en m2 de madera es de 2.4, 2.8 y 3.2 para cada una de las puertas (chicas, medianas y grandes). Finalmente, el carpintero estima que puede vender cuando mucho 3 puertas pequeñas, 5 medianas y 5 grandes  semanalmente. Si dispone de 40 hrs  a la semana y 30 m2 de madera por semana, ¿qué modelo representaria esta situación?

2.-Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.

Tipo de máquina 
Tiempo disponible 
(en horas-máquina por semana)
Fresadora
500
Torno
350
Rectificadora
150
 El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es:
      Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)

Tipo de Máquina 
Producto 1
Producto 2 
Producto 3
Fresadora
9
3
5
Torno
5
4
0
Rectificadora 
3
0
2


El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia.


3.-BlubberMaid, Inc. fabrica tres productos de caucho. Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex ( matetial rígido). Los tres productos requieren los mismo tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la tabla.
                                                                                INGREDIENTES  (Oz/Lb de producto)
Producto
Polímero A
Polímero B
Polímero C
Base
Airtex
4
2
4
6
Extendex
3
2
2
9
Resistex
6
3
5
2

BlubberMaid, Inc. tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extenderx y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras de polímera A, 450 libras del polímero B, 650 libras del polímero C y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.

4.         Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción.

             Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación.

             a)        Describa la analogía entre este problema y el de la Wyndor Glass Co. que se presentó en la sección 3.1. Después construya una tabla similar a la 3.2, identificando tanto las actividades como los recursos.
             b)        Formule el modelo de programación lineal para este problema.
             c)         Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada?
             d)        Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?

5.         Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.

                   Tipo de máquina
                               Tiempo disponible
                  (en horas-máquina por semana)
Fresadora
Torno
Rectificadora
                                            500
                                            350
                                            150

             El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es:

             Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina
        Producto 1
        Producto 2
        Producto 3
Fresadora
Torno
Rectificadora
9
5
3
3
4
0
5
0
2

             El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

6.       Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos:

        Ingrediente
         nutricional
    Kilogramo
           de
         maíz
    Kilogramo
           de
        grasas
    Kilogramo
     de alfalfa
Requerimiento
mínimo diario
Carbohidratos
Proteínas
Vitamínas
90
30
10
20
80
20
40
60
60
200
180
150
Costo (c)
           42
           36
           30



             Formule el modelo de programación lineal para este problema.

7.       Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate.

             La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente.

             Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico.

             Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan.             El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

8.       Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6,00 la hora en el verano.

             Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9.


             Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:


       Soya
       Maíz
      Avena
Horas-hombre en invierno
Horas-hombre en verano
Ingreso neto anual ($)
  20
  50
 600
  35
  75
 900
  10
  40
 450

             La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema.


9.       Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida:

Compartimiento
         Capacidad
            de peso
         (toneladas)
              Capacidad
              de espacio
            (pies cúbicos)
Delantero
Central
Trasero
  12
  18
  10
7000
9000
5000

             Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad.

             Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

   Carga
           Peso
(toneladas)
                         Volumen
(pies cúbicos/tonelada)
          Ganancia
($/tonelada)
1
2
3
4
20
16
25
13
500
700
600
400
320
400
360
290

             Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo.

             Formule el modelo de programación lineal para este problema.