Anexo 3

1.-La fabrica de muebles Tennesse (FMT) es especialista en la producción de dos clases de comedores muy de moda en Norteamérica. FMT produce los tipos de comedor americanos Virginia (V) y Massachussets (M). La FMT logra una utilidad (= precio neto de venta- costos variables de fabricación) de $200 y $240 de la venta de un comedor Virginia y uno Massachussets, respectivamente. La FMT ha experimentado una alta demanda de ambos comedores. En consecuencia, el gerente general cree que puede vender todos los comedores que produzca. Los comedores requieren tiempo de proceso en construcción (C) y de pintura (P). Los requerimientos y capacidades de producción diarios están resumidos en la siguiente tabla.

Recursos requeridos para producir 1 unidad	Producto Virginia     Massachusetts	Recursos disponibles (Capacidad)
Tiempo de construcción (Horas) Tiempo de pintura (Horas)	6                                                    12 8                            4	120 64
Utilidad unitaria	$200                    $240

Planeación de la producción

2.-Se procesan tres productos a través de tres operaciones diferentes. Los tiempos (en minutos) requeridos por unidad de cada producto, la capacidad diaria de las operaciones ( en minutos por día) y el beneficio por unidad vendida de cada producto (en pesos) son como sigue:

Operación	Producto 1	Producto 2	Producto 3	Capacidad de operación
1	1	2	1	430
2	3	0	2	460
3	1	4	0	420
Ganancia por unidad	$3	$2	$5

Los tiempos cero indican que el producto no requiere la operación dada. Se supone que todas las unidades producidas se venden. Además los beneficios dados por unidad son valores netos que resultan después  que se deducen todos los costos pertinentes La meta del modelo es determinar la producción diaria optima para los tres productos que maximice el beneficio.

Producción de juguetes.

3. -Woodcarving, Inc. de Giapetto fabrica dos tipos de juguetes de Madera soldados y trenes. Se vende un soldado a 27 dólares y se usan 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos de mano de obra y los costos generales en 14 dólares. Se vende un tren a 21 dólares y se usan 9 dólares de materia prima; cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 10 dólares. La producción de soldados y trenes de madera necesitan dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere dos horas de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Cada semana Giapetto puede conseguir toda la materia prima que se necesita pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite pero se venden a lo más 40 soldados semanalmente Giapetto quiere maximizar su ganancia semanal (ingresos – costos) formule un modelo matemático para la situación de Giapetto que se pueda utilizar para maximizar su ganancia semanal.

Siembra de maíz y trigo.

4. - El granjero Jones tiene que determinar cuantos acres de maiz y de trigo hay que sembrar este año. Un acre de trigo produce 25 costales de trigo y requiere 10 horas semanales de trabajo. Un acre de maíz produce 10 costales de maíz y requiere 4 horas semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a 4 dólares el costal y todo el maíz a 3 dólares. Se dispone de 7 acres y de 40 horas semanales de trabajo. Disposiciones gubernamentales especifican una producción de maíz de por lo menos 30 costales durante el año en curso. ¿Cuántos acres con maíz y cuántos acres con trigo deberá sembrar para maximizar el ingreso total por la producción de trigo y maíz.

Producción de camiones.

5. -La empresa Truckco fabricados tipos de camiones: 1 y 2. Cada camión tiene que pasar por un taller de pintura y un taller de montaje, si el taller de pintura tuviera que dedicarse completamente a la pintura de camiones tipo 1, se podrían pintar 800 camiones al día, mientras que si se dedicara completamente a pintar camiones tipo 2 se podrían pintar 700 al día, si el taller de montaje se dedicara exclusivamente al ensamblaje de motores para camiones tipo 1 se podrían ensamblar 1500 motores diariamente y si se dedicara únicamente a ensamblar motores para camiones tipo 2 se podrían ensamblar 1200 diariamente. Cada camión tipo 1 aporta 300 dólares a la ganancia y cada camión tipo 2 aporta 500 dólares, maximizar la utilidad de Truckco

Producción de pinturas

6. -Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente Tabla Proporciona los datos básicos del problema:

Toneladas de materia prima por tonelada de

	Pintura para exteriores	Pintura para interiores	Disponibilidad máxima diaria (Ton)
M1	6	4	24
M2	1	2	6
Utilidad por tonelada (1000 dólares)	5	4

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de  1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto optima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.

Mezcla de alimentos.

7. -Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

libra por libra de alimento para ganado

Alimento para ganado	proteínas	Fibra	Costo por libra
Maíz	.09	.02	.30
Semilla de soya	.60	.06	.90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms  desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.

8.- El departamento de publicidad de Almacenes Hawai y Cia. (AHC) tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de televisores a color. Tienen en consideración dos medios diferentes:

HDAL TV-Honolulu

El Honolulu times

Los estudios de mercado han mostrado que:

1.-La publicidad por TV llega al 2% de las familias de ingresos altos y al 3% de las familias de ingresos medios por comercial en Hawai.

2.-La publicidad en el periódico llega al 3% de las familias de ingresos altos y al 6% de las familias de ingresos medios por anuncio en Hawai.

La publicidad en el periódico tiene un costo de $500 por anuncio y la publicidad por TV tiene un costo de $ 2000 por comercial. La meta de AHC es obtener al menos una presentación como mínimo al 36% de las familias de ingresos altos y al 60% de las familias de ingresos medios minimizando los costos en publicidad.

Practica 2

1.      Objetivo.

Usar el software WinQSB para la solución de problemas de programación lineal e interpretar los resultados, así como comparar la metodología de solución del software con la del método de las 2 fases.

2.      Introducción.

WinQSB es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, en el caso de esta asignatura trabajaremos con el módulo de Programación Lineal y Entera, para las unidades 2, 3 y 4.

3.      Material y Equipo.

Hojas, Lápiz, Computadora y software Win QSB

4.      Procedimiento.

Se resolverá el siguiente ejercicio utilizando WinQSB, el mismo ejercicio también se resolverá de manera manual utilizando el método de las 2 fases, se compararan cada una de las tablas de solución y se hará la respectiva conclusión.

Ejercicio.

Maximizar X0=	2x1	+3x2	+5x3
s.a	X1	+x2	-x3	>=	-5
	-6x1	+7x2	-9x3	<=	4
	X1	X2	4x3	=	10
		X1,x2>=0 y x3 irrestricta

5.      Actividades a Desarrollar.

Resolver los siguientes problemas (Ver Anexo 3);

6.      Reporte.

Entregar en archivo de Word; Excel o Power Point los ejercicios del anexo 3; cada ejercicio o problema deberá contener: a)El Problema  b)Su Modelo        c)La Forma Estándar d)Informe completo de la solución  y e) Conclusiones.

Nota: Los ejercicios con 2 variables también deberán resolverse por el método gráfico e integrarse al archivo.

7.      Bibliografía.

·         http://www.zweigmedia.com/MundoReal/simplex.html

·         Introducción al programa Win QSB http://www.uv.es/martinek/material/WinQSB2.0.pdf (Anexo 1)

·         Quezada Ibargüen V.M., Vergara Schmalbach J.C. Análisis Cuantitativo con WINQSB. Colombia: Universidad de Cartagena. ISBN: 978-84-690-3681-5

Practica 1

1.      Objetivo.

Usar el software WinQSB para la solución de problemas de programación lineal e interpretar los resultados

2.      Introducción.

WinQSB es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. El sistema está formado por distintos módulos, en el caso de esta asignatura trabajaremos con el módulo de Programación Lineal y Entera, para las unidades 2, 3 y 4.

3.      Material y Equipo.

Computadora y software Win QSB

4.      Procedimiento.

(Ver Anexo 1)

5.      Actividades a Desarrollar.

Resolver los siguientes problemas (Ver Anexo 2);

6.      Reporte.

Entregar en archivo de Word; Excel o Power Point los ejercicios del anexo 2; cada ejercicio o problema deberá contener: a)El Problema  b)Su Modelo        c)La Forma Estándar d)Todas las tablas correspondientes e)Informe completo de la solución  y f) Conclusiones.

Nota: Los ejercicios con 2 variables también deberán resolverse por el método gráfico e integrarse al archivo.

7.      Bibliografía.

·         Introducción al programa Win QSB http://www.uv.es/martinek/material/WinQSB2.0.pdf (Anexo 1)

·         Quezada Ibargüen V.M., Vergara Schmalbach J.C. Análisis Cuantitativo con WINQSB. Colombia: Universidad de Cartagena. ISBN: 978-84-690-3681-5

 ANEXO 2

 1.-Una empresa fabrica dos productos A y B,  las utilidades de ambos productos son, $3 para el producto A y $5 para el producto B. Si el tiempo total de producción está restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto A y de 7 horas por unidad para el producto B,¿ cuantos productos pueden producirse si se desea maximizar las ganancias?

2.- En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B, antes de salir a la venta, el producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:

	Maquina A	Maquina B
1	2 H	3 H
2	4 H	2 H
Total disponible	48 H	36 H

Formular el modelo de programación lineal.

3.-Una compañía fabrica dos tipos de juguetes: camiones y automóviles. Cada camión requiere un minuto de tiempo de moldeado, 2 minutos de tiempo de pintura y 1 minuto de tiempo de empaque. Cada automóvil requiere 2 minutos de tiempo de moldeado, 1 minuto de tiempo de pintura y 2 minutos de tiempo de empaque. Existe un total de 300 minutos de tiempo de moldeado, 400 minutos de tiempo de pintura y 400 minutos de tiempo de empaque disponibles cada día. Tanto los automóviles como los camiones contribuyen con $1 por unidad a la utilidad.

4.- Supongamos que un carpintero fabrica tres tipos de puerta en diferentes medidas: pequeñas, medianas y grandes. La utilidad que obtiene por cada una de ellas es de $1000, 1300 y 1500 pesos por cada una  de ellas, respectivamente. El tiempo de elaboración es de 5 , 7 y 10 horas por cada tipo de puerta en el orden en que se menciona. Además, el consumo en m2 de madera es de 2.4, 2.8 y 3.2 para cada una de las puertas (chicas, medianas y grandes). Finalmente, el carpintero estima que puede vender cuando mucho 3 puertas pequeñas, 5 medianas y 5 grandes  semanalmente. Si dispone de 40 hrs  a la semana y 30 m2 de madera por semana, ¿qué modelo representaría esta situación?

5.- Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno, dos o tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.

Tipo de máquina	Tiempo disponible  (en horas-máquina por semana)
Fresadora	500
Torno	350
Rectificadora	150

 El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es:

      Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)

Tipo de Máquina	Producto 1	Producto 2	Producto 3
Fresadora	9	3	5
Torno	5	4	0
Rectificadora	3	0	2

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia.

6.-BlubberMaid, Inc. fabrica tres productos de caucho. Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex ( matetial rígido). Los tres productos requieren los mismo tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la tabla.

                                                  INGREDIENTES  (Oz/Lb de producto)

Producto	Polímero A	Polímero B	Polímero C	Base
Airtex	4	2	4	6
Extendex	3	2	2	9
Resistex	6	3	5	2

BlubberMaid, Inc. tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extenderx y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras de polímera A, 450 libras del polímero B, 650 libras del polímero C y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de producción, usted necesita determinar un plan de producción óptimo para esta semana.

7.-Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos maquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas.

Tiempo por unidad ( horas)

Máquina           Producto 1       Producto 2       Producto 3       Producto 4

                        1                       2                      3                     4                      2

                        2                       3                      2                     1                      2

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquinas 1 y 2 es $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3, y 4 es $65, $70, $55, $45, formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar el beneficio neto total.

2.2 Forma tabular del método simplex

	Variables de Decisión				Variables de Holgura
Básicas ↓									Solución ↓
Función Objetivo →

2.1 Teoría del método simplex

Para poder aplicar el método simplex a un modelo de programación lineal es necesario que este se encuentre en su forma estándar.

La forma estándar.

Las características de la forma estándar son:

1.-Todas las restricciones son ecuaciones excepto para las restricciones de no negatividad que permanecen como desigualdades.

2.-Los elementos del lado derecho de cada ecuación son no negativos.

3.-Todas las variables son no negativas.

4.-la función objetivo es del tipo de Maximización o minimización.

Transformaciones elementales.

1.-Las restricciones de desigualdad pueden cambiarse por ecuaciones introduciendo en el lado izquierdo de cada una de tales restricciones una variable no negativa.(estas nuevas variables se conocen como variables de holgura o superavit las cuales se sumaran si la desigualdad es £ (Holgura) y se restaran si la desigualdad es ³ (Superávit o exceso).

2.-El signo del lado derecho (-) puede eliminarse multiplicando la ecuación por  (-1) en caso de que sea necesario.

3.-Una restricción de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor absoluto puede cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a la original se le antepone el signo negativo a su lado derecho.

4.-Una variable que es irrestricta en signo ( esto es positiva, negativa o cero) es equivalente a la  diferencia entre dos variables no negativas por consiguiente si X es irrestricta en signo puede remplazarse por (X⁺-X^-) donde X⁺  y X^-  son  ³ 0.

5.-Una desigualdad en una dirección (£ o ³) puede cambiarse a una desigualdad opuesta (³ o £) multiplicando ambos lados por (-1).

6.-Una ecuación puede ser remplazada por dos desigualdades en direcciones opuestas.

7.-La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la maximización de la expresión negativa de esta función –f(x), y viceversa.

El método simplex.

Podemos decir que es la determinación algebraica de los puntos extremos del espacio de soluciones factibles (método gráfico), partiendo de la forma estándar. En la cual tenemos un sistema con m ecuaciones y n incógnitas.

La diferencia entre el número de ecuaciones y las incógnitas nos dan el número de variables que son iguales a cero en un punto extremo, las cuales son llamadas variables no básicas, y las variables restantes son llamadas básicas.

El método simplex inicia con un punto extremo o solución factible básica.

1.-La función objetivo se presenta como una ecuación y al pasarla a la tabla simplex cambian de signo los coeficientes de la función objetivo.

2.-Se coloca toda la información en una tabla.

3.-El siguiente paso es determinar una solución básica factible ( punto extremo). El método simplex hace esto eligiendo una variable no básica a la cual se le conoce como la variable que entra (se convertirá en básica) y una variable básica que se le conoce como la variable que sale ( se convertirá en no básica). La que entra está determinada por la condición de optimidad y la que sale por la condición de factibilidad.

4.-Condición de optimidad.- Dada la ecuación X₀ (función objetivo) expresada en función de las variables no básicas solamente, se elige la variable que entra en maximización como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente negativo y en minimización como la variable no  básica que tiene el mayor coeficiente positivo, en la ecuación X₀. Un empate entre dos variable no básicas o más se rompe arbitrariamente. Cuando los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación X₀ (Función objetivo)son no negativos (maximización) o no positivos (minimización) se ha llegado al punto optimo.

5.-Condición de factibilidad.-La variable que sale es la variable básica correspondiente al cociente más pequeño de los valores actuales de las variables básicas entre los coeficientes positivos de las restricciones de la variable que entra. Un empate puede romperse arbitrariamente.